Théorème fondamental : existence

Démonstration de l'existence de la décomposition en produit de facteurs premiers

On procède par récurrence forte. Pour \(n \geqslant 2\) , soit \(P(n)\) la propriété : « l'entier \(n\) s'écrit comme produit de facteurs premiers ».

Initialisation
Pour \(n=2\) , on a \(2=2\) , ce qui fournit une écriture de \(2\) comme produit de facteurs premiers.
La propriété \(P(2)\) est donc vraie.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(P(m)\) est vraie pour tout \(m \in \left\lbrace 1;...;n \right\rbrace\) .
Montrons que \(P(n+1)\) est vraie, c'est-à-dire : « l'entier \(n+1\) s'écrit comme produit de facteurs premiers ».

• Si \(n+1\) est premier, alors on a \(n+1=n+1\) , ce qui fournit une écriture de \(n+1\) comme produit de facteurs premiers.
• Si \(n+1\) n'est pas premier, alors il existe un nombre premier \(p\) divisant \(n+1\) .

On a donc \(n+1=pq\) avec \(q \in \mathbb{N}^\ast\) .
Comme \(p \geqslant 2\) , on a nécessairement \(q \in \left\lbrace 2;...;n \right\rbrace\) .
En effet, \(q \neq 1\) sinon \(n+1\) serait premier, et 
\(q=\dfrac{n+1}{p}\leqslant \dfrac{n+1}{2}\leqslant \dfrac{n+n}{2}=n\) .
Par hypothèse de récurrence, \(q\) s'écrit comme produit de facteurs premiers, et donc \(n+1=pq\) s'écrit aussi comme produit de facteurs premiers.

La propriété \(P(n+1)\) est donc vraie.

Conclusion 
\(P(n)\) est initialisée à \(n=2\) et est héréditaire à partir du rang \(3\) , donc elle est vraie pour tout entier \(n \geqslant 2\) .